高中数学向量解题基本思想与技巧分析

　　摘 要：作为高中数学的重要组成部分，向量解题的基本思想是每年高考考察的重点，高中生需要明确向量解题基本思想及技巧，提高自身的数学成绩。基于此，本文从高中数学向量知识的内涵入手，对其解题基本思路与技巧进行分析，高中生需要巧用抓基底的方法，提高对基础知识的重视，并合理利用直角坐标系，准确解答向量问题，培养自身数形结合的思想。
　　关键词：高中数学；向量；共线向量
　　一、 前言
　　向量具备代数和几何双重形式，与代数、立体几何及三角函数等相关知识有密切的联系，使得向量成为高中数学知识体系的重点内容。高考中关于向量知识的考察涉及填空题、选择题及解答题等多种类型。学生对向量知识的学習可以培养自身的数学思维及数形结合理念，通过解题基本思想的培养，提升学生的数学核心素养。因此，对于高中数学向量解题基本思想与技巧的分析是很有必要的。
　　二、 高中数学向量知识分析
　　向量是高中数学中的新知识，主要包括平面向量和空间向量这两方面的内容，不仅是高中数学学习的重点，与解析几何以及三角函数的关系密切，还与物理学科中的矢量运算相关，更与高等数学中的柯西不等式等知识相关。因此，高中生需要提高对向量知识的重视，为未来的学习奠定良好的基础。向量和数量有所不同，它既有大小，也有方向，对高中生的空间想象能力有较高的要求。高考大纲中关于向量考察内容的难度不算太高，平面向量的相关知识主要通过填空题或者选择题进行考查；空间向量的相关知识主要与立体几何联系在一起，通过大题进行考察。在实际的向量学习中，只要高中生掌握向量解题的基本思想与技巧，就能够准确解答向量相关问题，提高自身的数学成绩。
　　三、 高中数学向量解题基本思想与技巧分析
　　（一） 巧用抓基底方法
　　高中数学中向量解题中应用最为广泛的方法就是抓基底方法，在题目给出的图形中含有多个向量时，可以根据位移分解定理，将一系列向量划分为统一的一组向量，以此开展向量的运算。但是在实际的运算过程中，这种向量划分方法较为混乱，很容易出现运算失误。因此，高中生可以通过基底的设置，简化运算流程。以下面一道例题为例：在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，|AD|=1，求出AD·AC的值。例题中的向量相对较多，我们可以选择垂直的两条直线作为基底，将AD设为b，将AB设为a，则BD=b-a；BC=3（-a+b），AC=AB+BC，则AD·AC=AB·AD+BC·AD=BC·AD=3（-a+b）·b=3b2-a·b=3|AD|2=3。在上述例题的解答过程中，垂直基底的应用有效简化了向量分解流程，可以降低向量解题的难度。
　　（二） 通过极化恒等式进行向量解题
　　在高中数学中，极化恒等式主要是指向量数量积与向量和之差之间的关系，该方法能够简化向量解题流程，避免向量解题过程中出现运算失误。以下面一道例题为例：已知a·b=0，而且向量符合下面关系式：（c-a）·（c-b）=0，|a-b|=5，|a-c|=3，求a·c的最大值。根据极化恒等式可知，可以根据a-c、a+c和a·c之间的恒等关系，求得a·c的最大值，a·c=14[（a+c）2-（a-c）2]=14[（a+c）2-9]，由此可以看出，问题解答的关键在于a+c。在△OAC中，将线段AC的中点设为M，则a+c=2OM，|a·c|的最大值就是|a+c|的最大值，即：|OM|的最大值。|OM|在这一圆中，AC为3，则OM通过圆心时其线段长度最大。因此，|OM|max=12BC+r=4.5，则|a+c|的最大值为9，|a·c|的最大值是18。需要注意的是，在应用极化恒等式进行向量解题时，不需要转换内部数量关系。
　　（三） 合理利用直角坐标系
　　在向量问题中，时常会存在相互垂直或者某些特殊的夹角，高中生可以通过数形结合的方法，合理利用直角坐标系，将复杂的数量关系通过图形直观地展现，简化向量问题的解答过程，提高解题效率。以下面一道例题为例：OA=OB=1，而且两者为垂直关系，OC=λOA+μOB，（λ，μ∈R），AB的中点为点M，|MC|=1，求λ+μ的最大值是多少？根据题目已知条件，可以将A和B两点置于直角坐标系中，A点设为（1，0），B点设为（0，1），则M点为（12，12），C点为（λ，μ），则MC=（λ-12，μ-12）；已知|MC|=1，则（λ-12）2+（μ-12）2=1。也就是说，C点在位于以M点为圆心，1为半径的圆上。将λ+μ设为t，带入圆的方程中可知：2λ2-2tλ+（t2-t-12）=0，Δ=（2t）2-4×2（t2-t-12）≥0，求得-2+1≤t≤2+1，所以λ+μ的最大值是2+1。
　　四、 结论
　　综上所述，向量是高中数学的重点内容，需要受到教师和学生的重视。通过本文的分析可知，高中数学教师需要注重学生解题思想及技巧的培养，确保学生可以灵活应用数学思维及向量基本知识，准确解答向量相关问题，提高自身的数学成绩，为未来的数学学习奠定良好的基础。希望本文的分析可以为数学教师开展教学及高中生解答向量题目提供帮助。
　　参考文献：
　　[1]刘伟华，张敏.高中数学平面向量解题策略[J].新课程（下），2018（8）：281.
　　[2]孙溥临.浅析求解高中数学学习过程中特征值与特征向量的解题技巧[J].高考，2018（21）：208.
　　作者简介：
　　茅建未，浙江省余姚市，余姚中学。

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