简述二次函数在应用方面的几点思考
[摘 要:二次函数在航天、航海、建筑、工业生产、投资理财等领域都有广泛的应用,也正是实际的应用推动二次函数不断完善,二次函数的考察方式非常灵活,应用性较强,不仅是科研的重要内容,也是初等数学的重点难点,在高中学习中非常重要。二次函数和其他知识点联系紧密,这就要求同学们对二次函数有更深的把握,适应对知识点进行联合考察,本文对二次函数知识点进行全面梳理,以便加深同学们对知识的学习能力。
关键词:二次函数;联合考察;实际应用]
一、引言
在新的课程改革中,着重强调数学的改革方向是更加注重实用性,注重在教学过程中把握理论与实践的结合程度。“为学之实,固在践履”,在学习过程中,要熟练掌握工业生产和经济运行中数学知识的应用实例,并掌握如何独立研究一些实际课题,达到学以致用的目的。新的课程改革中,在中学都安排了相关任务,根据学生的掌握能力与培养方向而有所不同,但是都重视数学知识与自然科学、社会实践的结合。
二、二次函数应用的解题思路如下
(1)分析问题。
(2)确定问题中的变量、常量以及相关关系。
(3)以数学表达式的方式描述变量、常量的关系。
(4)运用二次函数的知识求解。
(5)检验计算结果。
三、二次函数与物理相关的应用
在解决此类问题时,要首先建立数学模型,将相关的内容转换为二次函数,再通过二次函数的性质求解。下面通过举例来进行说明。
(1)直线等加速运动。匀速直线运动中,运动距离等于速度乘以时间,公式为S=vt。而直线等加速运动中,速度会随时变化,运动距离和时间、加速度、初始速度都有关系。公式表示为:[S=V0+12at2]。
由此可知,当速度增加一定时,距离是时间的二次函数。
(2)自由落体运动。在忽略空气阻力时,自由落体是在地球重力作用下的直线等加速运动。初始速度为0,速度增加值为的9.8米/秒,可以表示为g,具体公式为[S=12gt2]。
(3)动能。物体在运动过程中会产生能量,物理上称为动能,具有的能量叫做动能。用E表示动能,m表示物体质量,v表示速度,则动能的计算公式为:[E=12mv2]。
例1:从地面向上抛球时,初始速度为10m/s,g取10m/s2,求时间t和高度h的关系。球从抛出到地面需要多久?什么时间达到3.75m?
解:高度h是时间t的二次函数,公式为[h=10t-5t2]。
当h=0时,[ 0=10t-5t2],
計算的t=0或者t=2,即抛出2秒后,回到地面。
当h=0时,[3.75=75t-5t2],
计算的t=0.5或者t=1.5,达到3.75m的高度。
四、二次函数与实际生活相关的应用
例2:某工厂生产一台设备固定成本2万元,每生产一台增加投入100元,x为设备的月产量,收益的函数为:当x在0到400的范围时,R(x)=400x+1/2x2;当x大于400的范围时,R(x)=80000。
(1)求利润约月产量的函数f(x)。
(2)获得最大利润为多少,此时的产量为多少?
解:
(1)设单月的生产量为x台,总的成本为20000+100x,当x在0到400的范围时,f(x)=-1/2x2+300x-20000,当x大于400的范围时,f(x)=60000-100x。
(2)当当x在0到400的范围时,求f(x)=-1/2x2+300x-20000的最大值,x=300,此时最大值为25000。当x大于400的范围时,f(x)是减函数,也就是此范围的数值小于x=400时的数值,因此每月生产300台设备的时候,利润最大,为25000。
五、利用最大值、最小值计算二次函数中的相关条件
例3:若f(x)=x2+2x+3在区间[M,0]的最大值为3,最小值为2,求M的取值范围。
解:先求f(x)的顶点坐标,横坐标x=-1,纵坐标y=2,因此顶点坐标为(-1,2),如果M<一1,根据函数的图形可知,f(x)关于x=-1对称。f(0)=3,f(-2)=3,f(-1)=2,由此可知,M的取值范围为[-2,-1]。
六、利用最大最小值求解函数表达式
二次函数有三种表达式,一般式,顶点式和双根式,在实际应用重要利用性质选择恰当的表达式进行求解。
例4:二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,最大值是8,求二次函数。
解:利用二次函数的顶点式求解,设函数表达式为f(x)=a(x-m)2+n。
由题意可知,函数的对称轴为x=1/2,所以f(x)=a(x-1/2)2+8,代入f(2)=-1,可知-1=a(x-1/2)2+8,因此a=4,代入化解可知f(x)=-4x2+4x+7。
利用相关条件求二次函数常用待定系数法,选用适当的表达式进行计算。如果已经知道抛物线的顶点或对称轴,常用顶点坐标。如果已知抛物线和x轴交点且知道横坐标选用双根式。
七、总结
二次函数的运算非常重要,也是考试的重点,在同学们的学习中,必须通过大量的练习,掌握不同类型计算题的方法,才能达到预期的目的。
参考文献
[1]杨芸.二次函数最值的应用[J].安顺师范高等专科学校学报,2005,07.
[2]陈紫翔.二次函数在高中数学应用的浅析[J].数学爱好者,2008,02:49-50.
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