摘要：变上限积分函数的诞生及原函数存在定理的发现是微积分学科建立的标志.本文基于SOLO分类评价理论，以某独立学院非数学专业大一学生为调查对象，通过测试调查学生对变上限积分函数理解的水平，提出若干教学建议.
关键词：变上限积分函数；原函数存在定理；SOLO分类评价理论
中图分类号：O172；G642 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2019）03-0007-04
1.2 SOLO分类评价理论简介
SOLO分类评价理论是由教育心理学教授比格斯（J.B.Biggs）在皮亚杰认知理论基础上发展而来的一种学生学业评价方法，是一种以等级描述为特征的质性评价方法.该理论通常将学生的学习结果分为前结构水平、单元结构水平、多元结构水平、关联结构水平和拓展抽象水平等五个水平，并给出各个水平段学生表现的思维特征.前结构水平（Prestructural）是指学习者只是简单地考虑了问题，或者对问题基本没有理解.单元结构水平（Unistructural）是指学习者对题意有了一点理解，且仅能从某一方面来回答该题.多元结构水平（Multistructural）是指学习者对问题有了更多的理解，能够从几个相关的方面来回答该题，但这几个方面相互独立，或者解题的基本方法已经掌握但在解题过程中出现了失误.关联结构水平（Relational）是指学习者能够整体把握出题者的意图，基本给出正确的解题过程.拓展抽象结构水平（Extended Abstract）是指学生不僅对问题有了整体的把握，还可以将问题进行抽象概括，使之适用于新的问题情景.近年来，SOLO分类评价理论受到了教育研究者的广泛关注，被运用于基础教育的许多课程的教学研究、试题评价研究.
2 变上限积分函数理解水平分析
2.1 测试卷的编制
根据SOLO分类评价理论，结合日常教学和调查对象的实际情况，鉴于只有极少数学生能达到拓展抽象水平.因此，根据SOLO分类理论将调查对象对变上限积分函数理解水平划分为四个水平：P水平（前结构水平），U水平（单元结构水平），M水平（多元结构水平），R水平（关联结构水平）.据此设计测试问卷.
测试目的：主要考查学生在学习了定积分内容后，对变上限积分函数的理解处于什么水平.问卷包含一道选择题和五道解答题，其中选择题包含6个关于变限积分函数命题的判定，用来初步了解不同水平等级的人数分布情况；解答题分别设计了简单应用（题2）、综合应用（题4和5）和理解（题3和6）等五道题.
2.2 测试对象的选择
问卷调研对象为本科层次的某独立学院大一新生，测试时间安排在学生已经学习原函数存在定理及定积分的相关计算之后.测试共发放问卷170份，回收170，其中有效问卷167份.
2.3 测试结果分析
关于测试题6，有46.1%的学生看到此题为复杂型变限积分函数的求导，且变限积分为抽象关系，而无法下手，或完全没有对策，这部分学生计入前结构水平，在数据统计表中用P表示.对变限积分函数有求导意识，但仅单纯利用原函数存在定理，直接代入求导，却没有意识到具抽象关系的变限积分函数中自变量尚不明确，这部分学生占42.5%，计入单元结构水平，在数据统计表中用U表示.有8.4%的学生能看出具抽象关系的变限积分函数中自变量比较复杂，并注意到被积函数中有因子t，意识到可利用因子t凑微分关系，得f（x2-t2）d（x2-t2），这部分学生计入多元结构水平，在数据统计表中用M表示.
统计数据显示仅有3%的学生能够在凑完微分关系后，发觉可利用定积分的第一类换元进行换元积分，或没有进行凑微分，但能利用第二类换元及换限的方式，正确对此变限积分函数求导的，这几位学生计入关联结构水平，在数据统计表中用R表示.
测试题3和6同样属于理解级的问题，但测试结果显示学生的理解差异较大.究其原因，主要是对变限积分求导问题的处理，学生从定积分性质、导数的四则运算法则的角度出发，考虑问题相对直接、自然，困难较小，故而有六成以上的学生能够顺利解决测试题3的求导问题，能够达到多元结构水平及关联结构水平，说明该阶段学生能准确抓住变限积分的相关特征，并将这些特征联系起来，从而形成解决问题的整体思维结构；而学生从凑微分、换元积分的角度出发，解决问题的应变能力就相对薄弱，有近九成的学生尚停留在前结构水平和单元结构水平，在处理变限积分的求导问题时不能联系变限积分问题所涉及的定积分表征，产生思维混乱等表现，或仅表现为单一的变限积分求导能力，盲目地对求导问题下手，思维不清晰.
3 教与学的建议
第三，重视不同知识之间的联系，重视审题、提升计算能力.为了深化对变上限积分函数的理解，“函数”的意义、作用、与相关知识的联系等功能需要全面深入理解，在求变限复合函数的导数时，须结合复合函数求导法则进行求导；在求有涉及变限积分的极限问题时，可结合洛必达法则、重要极限公式及等价无穷小代换等常规手法进行求解；应用变限积分函数的求导来解决如函数的单调区间及极值、隐函数的求导及偏导数求解等相关问题.
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