2016年安徽中考数学卷压轴题的解题方法指导
摘要:几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力,这类题目出法相当灵活。安徽省中考数学卷,连续四年用此类型问题压轴。掌握一定的分析、解决问题的方法,总结一些相对固定的几何模型,能让学生真正做到举一反三,提高学生解决此类问题的能力。
关键词:中考数学;压轴题;解题方法
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2016)12-0117
几何证明的主要方法有综合法和分析法。综合法是指由因导果,从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决;分析法是指執果索因,从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实或命题条件为止。而在实际解题过程中,往往要将这两种方法结合起来综合运用。下面就以2016年安徽中考数学卷压轴题解题指导为例,谈谈如何有效求解几何证明题。
一、原题呈现
(2016·安徽)如图1,A,B分别在射线OA,ON上,且∠MON为钝角,现以线段OA,OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形,分别是△OAP,△OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点。
(1)求证:△PCE≌△EDQ;
(2)延长PC,QD交于点R。
①如图1,若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形;
②如图3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON大小和■的值。
二、解题指导
在解决几何问题时,审题尤为重要。读题时,要能将已知条件融于图形中,了解图形的建构过程,然后从复杂的图形中抽象出简单的几何模型。本题的条件较为简单,但图形结构比较复杂。分析已知条件:根据△OAP、△OBQ为等腰直角三角形,点C、D分别是OA、OB的中点,我们可以从图形中得到“由等腰直角三角形及底边中线”构成的第一个简单几何模型。在这一模型中,有我们熟悉的“等腰三角形三线合一”及“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”两个重要的定理。由此,可得出:PC垂直平分OA;QD垂直平分OB;PC=■OA;QD=■OB等结论。此外,根据点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点这一条件,我们可从图形中得到“由三角形的中位线构造的平行四边形”模型。在这一模型中,有我们熟识的“中位线定理”及“平行四边形的有关性质”。由此,可得出:CE∥■OB;DE∥■OA及平行四边形CODE的有关性质。审题至此,问题(1)“求证:△PCE≌△EDQ”的求解便水到渠成。
三、解题反思
几何问题的解决,要求学生必须在牢固掌握概念、法则、定理的几何图形基础上,能准确运用几何语言表达出来。在具体的解题过程中,能从复杂的几何图形中抽象出简单基本的几何模型,进而丰富已知条件,为利用综合法解决问题提供保证。
问题(2)的第①问“求证:△ABR为等边三角形”,可从分析法入手。证明一个三角形为等边三角形,常用方法有四种:三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有两个角为60°的三角形是等边三角形;有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。结合问题(1)的证明过程,认识到直线PR、QR分别为线段OA、OB的中垂线。此时,联想到中垂线的性质定理,可尝试连接RO,简单推理后,可得到RA=RB。接下来,结合本题补充条件∠MON=150°,解决问题的的思路便基本明确。接下来,需要在等腰△ABR中寻找出一个60°的角。当我们将已知角(包括垂直产生的角)在图中逐一标注后,便能发现一个四边形RCOD,它的四个内角中已知三个内角,由此可得,∠CRD=30°。在此基础上,说明∠ARB=60°时,图形中包含一个有关角平分线定义的典例模型:在∠ARB内部引一条射线RO,分别作∠ARO与∠BRO的角平分线。至此,便可证得△ABR为等边三角形。
问题解决的突破口在于辅助线RO的连接。在几何问题的解决过程中,往往会遇到不完整的定理模型,此时需要根据定理的内容添加一些必要的辅助线。此外,解题时,还要注意补充条件的价值。补充条件往往对于问题的解决具有很强的指向性,这可以让我们在解决问题时,少走弯路。另外,在平时的习题演练中,对于一些典例模型的熟悉和掌握也是必要的。
接下来探究第②个问题时,一上来很难找到头绪。在第3幅图中,当△ARB∽△PEQ时,两个三角形都像是等腰直角三角形。回头观察第2幅图,当我们尝试连接PQ,会发现△PEQ依然保持直角三角形的形状。在第1幅图中,∠PEQ任保持直角形状。此时,经过推理,可得出∠PEQ恒为直角的结论。这时,通过前面问题的解决,想到∠MON大小可以通过180°-∠CRD得到,而∠CRD又等于∠ARB的一半。至此,∠MON的度数便可迎刃而解。通过这一问题的解决,我们可从图中发现两个全新的Rt△:Rt△APB和Rt△AQB,并且PE、QE分别为两直角三角形斜边上的中线,由此可得,AB=2QE。在等腰直角三角形PEQ中,PQ=■QE。至此,便可求出■的值。
我们在平时练习时,当解完一个几何综合题后,还要做进一步探究:解决问题的关键点是什么,图形中包含有哪些简单几何模型,解题时用到了哪些定理,图形中还可以寻找出哪些结论,问题还可以怎样进行延伸。学无止境中有法。这样的解题反思,可以让我们熟悉一般问题的建构过程,掌握解决常见问题的基本策略,从而提高我们的解题能力。
(作者单位:安徽省宁国市汪溪初中 242300)
下一篇:翻转课堂对大学英语教师的角色期待
最新推荐
- 基层员工四讲四有学习心得体会3篇
- 法院新春贺词简短12篇
- 清明祭英烈共铸中华魂主题演讲稿12篇
- 车间行政后勤工作总结范文15篇
- 超市促销春节活动方案8篇
- 大学四年学习计划3篇
- 新形势下高校财务管理工作的优化策略
- 初中数学学困生的成因调查分析报告范文3篇
- 初三期中考试后家长会主持词6篇
- 悼念词 追悼会代表悼念词
- 机械专业校企合作发展现状及思路
- 大学生劳动实践报告怎么写8篇
- 整改方案 学校领导班子整改方案
- 优秀党员教师先进事迹材料 2022年学校优秀党员教师先进事迹材料
- 时不我待 以“时不我待、只争朝夕”快干精神,扎实做好规划,引领社会经济发展
- 我国银行业系统性风险度量
- 乒乓球女子团体半决赛 2022东京奥运会乒乓球名单新版
- 七大场景巧支招,带你玩转这个“年”
猜你喜欢
- 毕业论文格式 毕业论文格式规范/li>
- 廉政总结 2022年第二季度党风廉政建设工作报告/li>
- 会飞的相机,大疆精灵Phantom,4,Pro/li>
- 夜大自我鉴定 夜大毕业自我鉴定(3篇)/li>
- 局机关年度普法工作履职报告【优秀范文】/li>
- 韩庚:我并没有给自己设“人设”/li>
- 赞美秋天的诗歌 赞美秋天诗歌,汇总100首_诗词/li>
- 美文欣赏 | 无法重来的一生/li>
- 2023开学典礼村书记代表讲话稿【五篇】/li>
- 迎难而上造句 迎难而上造句/li>
- 抗疫诗歌(现代诗)【5篇】/li>
- 养精蓄锐 养精蓄锐成语解析及近义词/li>
- 2022护士长3000字入党申请书范本【优秀范文】/li>
- 20xx年公司组织结构图/li>
- 大学本科毕业生自我鉴定20214篇/li>
- 人民调解 人民调解演讲稿/li>
- 房地产产业链关联性的分析研究/li>
- 2023年在民政局长座谈会上讲话/li>